若何绕过受力合成解力学下场？《张背阴的物理课》教学拉格朗日力学
牛顿力学在17世纪就已经睁开患上至关成熟了，但为甚么在18世纪 ，受力迷信家们又建树起了另一套拉格朗日力学 ？ 9月29日12时 ，合成《张背阴的解力教学物理课》第一百七十七期开播，搜狐独创人 、学下董事局主席兼首席实施官 、场张物理学博士张背阴坐镇搜狐视频直播间 ，背阴从光学的理课拉格朗日力学费马道理类比动身 ，剖析做作界存在对于某个熏染量取变分极值的若何绕过偏好 ，接着构建起拉格朗日力学系统 ，受力并举例剖析拉格朗日力学的合成啰嗦之处 。
从费马道理重新审阅牛顿行动方程
在正式介绍拉格朗日力学前 ，解力教学张背阴先带巨匠回顾了牛顿力学是学下若何处置下场的 。在牛顿力学中 ，场张需要先对于物体做受力合成 ，背阴这些力的协力会反映到物体的减速率上 ，减速率a是速率v的变更率 ，速率v是位置矢量x的变更率。举一个重大的例子 ，重物在重力熏染下逍遥落体 。
（重物逍遥落体）
为重大起见，只思考竖直倾向的坐标 ，取竖直向下为正倾向建树x轴 ，这样就能把物体在t光阴的位置记为一个坐标x(t) ，不才面加一点展现坐标对于光阴求一阶导 ，患上到速率v ，再加一个点是求二阶导 ，患上到减速率a
用牛顿第二定律可能列出
很简略解出逍遥落体的行动方程为
以上是由牛顿定清晰进去的行动方程，它是x对于t的二次函数 ，画在x-t图中是一条抛物线 。
（行动道路多种抉择）
但无妨再斗果敢胆地想一想，假如如今不知道行动方程是奈何样样的 ，概况说 ，假如在另一个星球上知足另一条物理纪律 ，那末它的道路很可能再也不是t的平方 ，而是t的一次方概况三次方 。从尽头①到尽头② ，有良多种可能的道路（图中红线），它与黑线差△x(t) 。由于道路再也不禁牛顿定律判断 ，行动方程只能写成对于t的未知的函数
在这样的情景下，有无可能找到另一个条件 ，从这个新的动身点动身 ，能重新推导出牛顿定律呢 ？
回顾先前电能源学课上讲过的“分层理念”。可能把电磁学量分成三层 ，第一层是电势以及磁矢势 ，第二层是电磁场 ，可能由第一层求时空偏导患上到 ，第三层是电磁场的散度以及旋度，与电荷以及电流直接相关 。麦克斯韦方程组可能用第二层以及第三层的量来形貌 ，也可能把第二层的量换成第一层来患上到更松散的方式 。相似地 ，力学中理当也可能找到x以及v眼前更底层的量 ，把牛顿定律写成另一种方式。在这种脑子的开辟下 ，假如有一个标量函数F ，它与x以及v无关
这个函数对于光阴的积分会进去一个数
这样写至关于输入一个道路函数x(t) ，它会经由被积函数F输入一个数S ，这是从函数x(t)到数S的映射 ，称为泛函 。
之以是想到妄想这样一个泛函 ，是由于在17世纪 ，光学规模已经提出了光的费马道理 。费马见告巨匠 ，设定光动身的尽头以及抵达的尽头 ，两点之间有良多可能的道路可能相连 ，那末光所走的着实道路确定是历时最短的那条 ，概况说，历时确定取在一个极值 。用这个道理可能把光在平均介质中沿直线转达、光的反射以及折射纪律都涵盖进去。
光所走的历时是对于道路求积分患上出的一个泛函 。道路是一个函数 ，对于它输入自变量坐标它会输入因变量坐标 ，是数到数的映射 。而历时是一个泛函 ，对于它输入一个道路函数它会输入一个光阴，是函数到数的映射。
假如把每一条可能的道路看做函数空间中的一个点 ，泛函便是输入一个函数空间中的点并输入一个数 。光所走的着实道路位于泛函取极值的中间 ，它的一阶变分为0 ，意思是说 ，把给泛函的输入 ，从代表光所走的着实道路的点稍作偏移，也即把道路稍微挪移一小段 ，泛函所输入的数值将简直巩固 。这以及函数取极值时一阶导为0是同样的，这样的点称为驻点（stationary point），光所走的实际道路也称为stationary path 。
类比光的费马道理，有无可能在力学中也计划一个标量函数F ，使患上物体在按着实行动方程行动时 ，输入的数S也取为极值呢 ？
从变分取极值推导行动方程 ，并用函数空间清晰驻点
有了想法 ，就能开始数学推导了 。对于道路x(t)做变分 ，酿成x(t)+△x(t)后 ，F会响应地酿成F+△F ，S也会酿成S+△S 。这里只关注变更量 ，写出S的一阶变分为
尽管道路x(t)以及速率v(t)作为光阴的函数是有分割关连的 ，但F作为x以及v的二元函数，对于它们的依赖关连是自力的 。以是在审核F的变分时，理当先假如摁住速率v不动 ，思考△x的贡献，再摁住x不动 ，思考△v的贡献
在第二项对于速率的变分中 ，可能把变分以及对于光阴求导的挨次做一个交流
代回对于F的变分式 ，并将第二项凑玉成微分的方式
交流第二项以及第三项的位置 ，把以及△x线性相关的项放在一起 ，再代回对于S的变分式
上式写成为了两项 ，第二项是一个全微分 ，很简略积出服从。由于在对于道路x的变分中已经牢靠了尽头以及尽头 ，
以是对于第二项积分后患上到的变更量是0 。另一方面 ，这里要追寻的F的函数方式是使患上S在实际行动方程上取极值，概况说，它的一阶变分取0 ，是一个在输入函数x的函数空间中的驻点 ，这要求不论△x若何抉择 ，第一项的服从也依然是0 。以是方括号中的被积函数必需取为0 ，
（张背阴推导变分取极值的条件）
至此 ，张背阴从数学上推出了一个泛函S取极值时 ，它的被积函数F理当与道路x以及速率v具备何种关连 。尽管x以及v作为t的函数是相互依赖的 ，但F对于x以及v的函数关连是自力的 ，在思考F若何妄想时，可能用正交的x轴以及v轴代表所有可能道路的函数空间 。
每一个道路经由被积函数F对于应一个泛函S ，它能画成函数空间中的一个曲面 。但这个面是冗余的 ，在这个面上 ，惟独v是x对于光阴求一阶导的点才对于运分心义的道路 。在这些分心义的函数点所连成的线上做一阶变分 ，变分为0的驻点对于应的道路函数就理当是物体的着实道路 ，这些点就彷佛“山谷”、“山脊”概况“鞍点” ，而“山坡”所对于应的点就不是物体的着实道路 。
（用函数空间中的曲面清晰变分驻点
。这里x轴以及v轴尽管垂直 ，但对于分心义的道路而言它们并非自力的）
有读者会留意到当初惟独要了一阶变分为0 ，它对于应的是取极值的驻点 ，但并不能分说它是极小 、极大仍是一个鞍点，为甚么会叫它“最小熏染量道理”呢 ？这着实是一个习气的叫法 ，更严厉的叫法理当是平稳熏染量道理（principle of stationary action） 。在大部份情景下 ，妄想进去的F在实际行动道路下简直取的是泛函极小值 ，它的二阶变分大于0 ，是一个位于山谷的凹点 。
妄想拉格朗日量以及熏染量 ，建树拉格朗日力学
那末被积函数F在甚么样的函数方式下 ，求进去的驻点对于应的道路恰正是牛顿第二定律呢？在不思考非激进力（好比磨擦力或者洛伦兹力）的情景下 ，拉格朗日给出的服从是 ，被积函数F即是动能T减去势能V ，这称为拉格朗日量
拉格朗日量对于光阴的积分S也被正式命名为熏染量 。适才患上到的对于变分取极值的方程也正式酿成为了欧拉-拉格朗日方程
下面的拉格朗日量是动能以及势能的函数 ，简直很像电能源学中第一层的电势以及磁矢势。张背阴再次以逍遥落体举例 。在这里，重物的动能为
重力势能为
以是拉格朗日量为
代入欧拉-拉格朗日方程
患上到的行动方程偏偏以及牛顿的行动定律不同
再来思考另一个例子 。有一物体套在滑杆上，它在重力的熏染下往下滑 。杆子的形态并不法则 ，在笛卡尔坐标系中需要两个直角坐标来表述 。可是由于物体被约束在了杆子上 ，它惟独1个逍遥度 ，以是可能只用一个坐标来形貌它的行动。
（在物体沿杆下滑下场中，惟独一个行动逍遥度）
设物体的初始位置为坐标原点 ，取沿杆走过的长度l(t)作为形貌物体行动的坐标 ，每一个l对于应一个高度h(l) ，它的拉格朗日量是
代入欧拉-拉格朗日方程
患上到
这也以及牛顿定律是不同的 。由于在滑杆上，歪斜角的正弦值sinθ便是高度对于沿杆长度的变更率dh/dl ，而经由力的矢量分解 ，重力沿杆倾向的份量正是重力乘以歪斜角的正弦值，以是上式着实是物体在物体沿杆倾向上牛顿第二定律 。而在垂直于杆的倾向上，物体的重力份量以及杆的反对于力相互对于消 ，物体被牢牢地约束住了，不行动逍遥度 。
在欧拉-拉格朗日方程中 ，经由对于拉格朗日量做微分 ，可能患上到牛顿力学里的减速率以及力 。反以前 ，也可能对于牛顿行动方程做积分 ，来看看它是否回到拉格朗日力学的动能以及势能 。令上式双方对于行动道路求积分，右侧患上到
第二个等号中把积分变量交流成为了dt ，第三个等号又交流成为了dv ，积进去的正是动能 。对于右侧积分患上到
它正是重力势能的减大批 。把双方放在一起看 ，不难发现它便是机械能守恒
（张背阴推导机械能守恒）
经由这个不法则形态的杆的例子 ，可能发现拉格朗日力学做作地把行动约束思考进了坐标里，它不用定是笛卡尔的直角坐标 ，也不用定是极坐标概况球坐标 ，惟独能找到适宜的狭义坐标 ，就能实用地用行动约束削减微分方程的数目 。一个逍遥度可能用一个狭义坐标以及狭义速率来形貌 ，假如有n个行动逍遥度 ，拉格朗日量便是对于n个狭义坐标以及n个狭义速率的标量函数
它对于这n组狭义坐标以及速率 ，有n个欧拉-拉格朗日方程
另一方面 ，比照于牛顿力学 ，拉格朗日力学只用思考拉格朗日量一个标量 ，而不波及对于力的矢量合成 。尽管牛顿力学更抽象直不雅，但在某些受力情景重大的系统中 ，拉格朗日力学能更利便地患上出物体行动所知足的微分方程 。其后的量子力学以及量子场论也借鉴了其中的良多意见 。
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